백준 17626번. Four Squares (Python / 파이썬)

문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.
자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

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문제 풀이

라그랑주에 따르면 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현될 수 있다. 

따라서 최소 개수가 1개인 경우, 2개인 경우, 3개인 경우, 4개인 경우를 각각 생각해보면 된다. 

 

합이 자연수 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 구하기 위해 

먼저 n이 주어졌을 때 답이 될 수 있는 제곱수들의 후보를 구해주었다.

예를 들어, n = 26일 때 합이 26이 되게 하는 제곱수는

1, 4, 9, 16, 25이다. 36부터는 절대 합이 26이 되게 만들 수 없기 때문이다. 

이에 따라 n이 주어졌을 때 제곱수들의 후보는 1부터 n의 0.5배의 제곱임을 알 수 있다.  

 

이렇게 제곱수들의 후보를 구해주었다면 각 경우를 따져보면 된다. 

최소 개수가 1개인 경우는 n의 0.5배와 후보에서 가장 큰 수의 0.5배가 같을 때이다. 

최소 개수가 2개인 경우 부터는, 제곱수 후보들 중 가장 큰 수부터 n에서 빼준다. 

만약 제곱수를 하나 뺀 결과가 제곱수 후보에 있다면 최소 개수는 2개가 된다. 

만약 제곱수를 두개 뺀 결과가 제곱수 후보에 있따면 최소 개수는 3개가 된다. 

그 외에 경우는 최소 개수가 4인 경우이다. 

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My Code 

def check(n):
    # n을 만들 수 있는 제곱수들을 구해줌 
    nums = []
    for i in range(int(n**0.5), 0, -1):
        nums.append(i**2)

    # 최소 개수가 1개인 경우
    if n**0.5 == nums[0]**0.5:
        return 1

    # 최소 개수가 2개인 경우
    for i in nums:
        if n - i in nums:
            return 2 

    # 최소 개수가 3개인 경우
    for i in nums:
        for j in nums:
            if n - i - j in nums:
                return 3 
    
    # 그 외는 최소 개수 4개
    return 4

n = int(input())
print(check(n))